Na logikę

Do napisania dzisiejszego postu skłonił mnie przeczytany niedawno dowcip.

Facet jedzie zatłoczonym autobusem i nie może dostać się do kasownika. Chce poprosić stojącego obok mężczyznę o skasowanie biletu, jednak zastanawia się, jak ma się do niego zwrócić.  Myśli więc: „jeśli mężczyzna nie wysiadł na poprzednim przystanku, to znaczy, że jedzie do mojej dzielnicy. Jedzie z kwiatami, to znaczy, że jedzie do kobiety. Kwiaty są piękne, to znaczy, że jedzie do pięknej kobiety. W naszej dzielnicy są dwie piękne kobiety – moja żona i moja kochanka. Ja jadę do kochanki, to znaczy, że on jedzie do mojej żony. Moja żona ma dwóch kochanków – Jana i Piotra. Jan jest teraz w delegacji….”
– Panie Piotrze, czy mógłby mi pan skasować bilet?

Przytoczony dowcip pokazuje, że logiczne myślenie i rozumowanie są nam potrzebne w codziennych sytuacjach, ale nie zawsze nasze wnioskowanie jest poprawne. Warto zatem ćwiczyć logiczne myślenie, aby lepiej radzić sobie z rozwiązywaniem problemów zarówno tych naukowych, jak i życiowych. Rozwiązywanie zagadek logicznych jest jednym ze sprawdzonych (i całkiem przyjemnych) sposobów trenowania szarych komórek.

Niedawno zmarł (6 lutego)  Raymond Smullyan, znany matematyk, logik i filozof. Cieszył się sławą najlepszego na świecie twórcy zagadek i najzabawniejszego logika, jaki kiedykolwiek żył.  Autor wielu zbiorów łamigłówek i paradoksów logicznych.

Książki: „Jaki jest tytuł tej książki?”, „Dama czy tygrys” oraz „Szatan, Cantor i nieskończoność”  są jak powieści matematyczne, pełne zagadek logicznych, osadzonych w bajkowej fabule.  W każdej z nich poziom trudności zadań rośnie – te z pierwszych rozdziałów są bardzo łatwe, z następnych nieco trudniejsze, a te z ostatnich naprawdę skomplikowane. Zachęcając do sięgnięcia po te niezwykłe książki Raymonda Smullyana przytaczam z nich kilka zagadek.

  • Pewien chłopiec miał tyle samo braci i sióstr. Jego siostra Ala miała dwa razy więcej braci niż sióstr. Ile braci i sióstr było w tej rodzinie?
  • Jeśli pięć kotów może złapać pięć myszy w pięć minut, to ile kotów potrzeba, aby złapać sto myszy w sto minut?
  • W pewnym sklepie zoologicznym sprzedają duże i małe ptaki; cena każdego dużego ptaka jest dwukrotnością ceny małego ptaka. Pewna pani nabyła pięć dużych ptaków i trzy małe ptaki. Gdyby natomiast kupiła trzy duże ptaki, a pięć małych, to wydałaby o dwieście złotych mniej. Ile kosztuje każdy ptak?
  • Załóżmy, że obaj mamy tyle samo pieniędzy. Ile muszę ci dać, byś miał o sto złotych więcej niż ja?
  • Czy ci z was, którzy wiedzą coś o katolicyzmie, orientują się może, czy Kościół katolicki pozwala mężczyźnie na poślubienie siostry wdowy po nim?
  • W Lesie Zapomnienia, Alicji często zdarzało się zapomnieć, jaki jest dzień tygodnia. Pewnego dnia spotkała tam Lwa, który kłamie w poniedziałki, wtorki i środy oraz Jednorożca, który kłamie w czwartki, piątki i soboty. Wygłosili oni następujące zdania:
    Lew: Wczoraj był jeden z dni, w które kłamię.
    Jednorożec: Wczoraj był jeden, z dni, w które ja również kłamię.
    Jaki to był dzień tygodnia?

Jak polubić rachunek prawdopodobieństwa?

Z dziesięciu podanych do egzaminu tematów student przygotował się tylko z jednego. Ma zatem 1 szansę na 10, że zda egzamin. Na chwilę przed losowaniem okazało się, że jedno pytanie zaginęło. Czy szanse studenta wzrosły, czy zmalały?

To zadanie cytowałem  zwykle studentom, rozpoczynając zajęcia z rachunku prawdopodobieństwa i prosiłem, aby bez obliczeń wskazali właściwą odpowiedź. Słuchacze głosowali przez podniesienie ręki, a ja wymyśliłem wówczas określenie „intuicja probabilistyczna grupy”. W tym przypadku intuicja może jednak zawieść, więc wskazane jest rozwiązanie tego zadania za pomocą prawdopodobieństwa warunkowego.

Ja sam będąc uczniem w szkole średniej, a następnie studentem nie znajdowałem nic pociągającego w rachunku prawdopodobieństwa. Gdy zacząłem uczyć, stanąłem przed problemem, jak dobrze wytłumaczyć swoim uczniom zagadnienia z tego działu, skoro nie czuję się w nim najlepiej. Szukałem różnych książek na ten temat, aż wreszcie znalazłem to, czego szukałem.

Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek trudno nazwać typowym podręcznikiem, aczkolwiek w sposób jasny i przystępny tłumaczy wszystkie tajniki rachunku prawdopodobieństwa. Jego autorzy – Marek Zakrzewski i Tomasz Żak – unikają skomplikowanych zapisów formalnych, w zadaniach zaś często odwołują się do sytuacji z życia codziennego.  Przeczytanie tej książki okazało się przyjemnością, a co najważniejsze, dzięki niej mogłem zachęcić swoich uczniów do polubienia zadań z rachunku prawdopodobieństwa.

W rozdziale Permutacje i reguła mnożenia, autorzy przytaczają następującą historyjkę:

Czternaście osób jadało codziennie obiady przy podłużnym stole. Wszyscy zajmowali zawsze te same miejsca. Pewnego dnia siedzący na szarym końcu najmłodszy ze stołowników wystąpił z projektem, by miejsca zajmować za każdym razem inaczej, aż do wyczerpania wszystkich możliwych rozmieszczeń. Po obiedzie starszy pan, nauczyciel matematyki w gimnazjum, zaprosił młodego człowieka na kawę.

” – Więc pan chciałby przesadzać czternaście osób, co dzień w innej kolejności, aż do wyczerpania wszystkich możliwych kombinacji, czy tak?
– Tak jest, proszę pana.
– I co pan sądzi, jak długo będzie trwało, aż pan te wszystkie możliwe kombinacje wyczerpie?
– No, nie wiem… może nawet parę tygodni… ale musi być sprawiedliwość.
– Owszem, musi być – odrzekł fundator kawy i zaczął coś obliczać ołówkiem na marmurze stolika. Po paru minutach powiedział:
– Ale będzie to, panie drogi, trwało – niech pan słucha: dwieście trzydzieści osiem milionów osiemset czterdzieści cztery tysiące sześćset trzydzieści trzy lata.
Osłupiałem, myśląc, że mam do czynienia z wariatem.”

Matematyk oczywiście miał rację, aby się o tym przekonać wystarczy obliczyć 14!

Na koniec jeszcze jedno zadanie z cytowanej książki:

Z dwu urn jedna jest pusta, a druga zawiera 4 ponumerowane kule. Z trzeciej – dodatkowej urny – losujemy ze zwracaniem kartki z numerami kul. Kulę o wylosowanym numerze przekładamy z jednej urny do drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 4 losowaniach w obu urnach będą po 2 kule?

Moje ulubione zagadki matematyczne

Przez cały okres mojej pracy zawodowej uczyłem matematyki: najpierw uczniów w szkole średniej, potem studentów PK. Często, aby urozmaicić zajęcia a także, aby zachęcić moich słuchaczy do bliższego kontaktu z tą fascynującą nauką, cytowałem ciekawe zadania i zagadki z rozmaitych książek, których pokaźny zbiór posiadam.

Oto niektóre z moich ulubionych i najczęściej przeze mnie przytaczanych (także przy okazji spotkań towarzyskich):

Kapelusze – zadanie logiczne z książki „Lilavati” Szczepana Jeleńskiego:
W pudle znajdują się kapelusze: 2 białe i 3 czarne. Trzy z tych kapeluszy włożono na głowy trzech panów A, B i C, którzy byli ustawieni „gęsiego” w ten sposób, że pan A widział przed sobą panów B i C, pan B widział tylko pana C, a pan C nie widział ani pana A, ani pana B. Żaden z nich nie widział swego kapelusza, nie odwracał się ani nie widział dwóch kapeluszy, które zostały w pudle. Zapytano pana A, jaki ma kapelusz; odpowiedział, że nie wie. Zapytano pana B; odpowiedział, że również nie wie. Wtedy pan C oświadczył: „Wobec tych odpowiedzi panów A i B już wiem, jaki mam na głowie kapelusz” – i podał uzasadnienie.

Przyjaciele Kasi – zadanie z książki „Matematyczny piknik” Briana Bolta:
Mama Kasi kupiła w sklepie owoce, które jej córka i jej przyjaciele mają zabrać na wycieczkę. Kupiła jabłka po 4 grosze za sztukę i pomarańcze po 7 groszy za sztukę. Zapłaciła 2,99 zł. Kasia i każdy z jej przyjaciół dostali po takiej samej porcji owoców. Ile osób wybrało się z Kasią na wycieczkę i po ile jabłek oraz pomarańczy wypadło na każdego uczestnika?

Króliki i kury  – stare zadanie, jedną z jego wersji znalazłem w książce „Zagadki logiczne” Wiesławy Suchockiej:
Gospodarz hoduje króliki i kury. W sumie ma 35 głów i 94 nogi inwentarza. Ile jest kur, a ile królików?

Otwór w kuli – zadanie z książki „Moje najlepsze zagadki matematyczne i logiczne” Martina Gardnera:
W kuli wywiercono na wylot otwór w kształcie walca o wysokości 6 cm, przechodzący przez środek kuli. Jaka jest objętość pozostałej części kuli?

Figa z  makiem – to zadanie pojawiło się przed laty w teleturnieju „Czy jesteś mądrzejszy od piątoklasisty?”:
Figa z makiem kosztuje 1,20 zł. Figa jest o złotówkę droższa od maku. Ile kosztuje mak?

Dzień liczby Pi

Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła…

Ten wierszyk przeczytałem kiedyś w którejś z książek popularyzujących matematykę. Miał on ułatwić zapamiętanie liczby Pi: ilość liter w każdym z wyrazów odpowiada kolejnym cyfrom Pi (kto – 3, z – 1, woli – 4, itd.)
Z okazji dzisiejszego święta, które niejako promuje matematykę przedstawię kilka książek, które podobały mi się, zrobiły na mnie wrażenie i są godne polecenia osobom chcącym bliżej poznać tę fascynującą naukę.

Lilavati – Szczepan Jeleński
Wspaniała książka popularyzująca matematykę pisana z myślą o młodym czytelniku, ale sądzę, że i starsi znajdą w niej fascynującą lekturę. Zbiór anegdot, gier, zabaw a przede wszystkim ciekawostek matematycznych. Napisana pięknym, żywym  językiem, aż trudno uwierzyć, że pierwsze jej wydanie ukazało się w 1926 roku.  Nadal urocza i czarująca!

Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński
Dalszy ciąg „Lilavati” i kolejna porcja rozrywek i ciekawostek.

Bezmiar matematycznej wyobraźni – Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda
Autorzy przedstawiają różnorodne zagadnienia matematyki współczesnej w sposób przyjazny i zrozumiały.  Nie brak w niej także elementów humorystycznych. Po przeczytaniu tej książki zmienisz swoje spojrzenie na matematykę i … matematyków 😉

Moje najlepsze zagadki matematyczne i logiczne – Martin Gardner
„Martin Gardner uchodzi za człowieka, który zachęcił do matematyki więcej osób, niż ktokolwiek inny w XX w.” Zebrane w tej książce zadania wymagają przede wszystkim pomysłowości i wyobraźni.

Przygody matematyka – Stanisław M. Ulam
Autobiografia wybitnego polskiego  matematyka wywodzącego się z  lwowskiej szkoły matematycznej. Warto poznać sylwetkę człowieka zafascynowanego nauką oraz  ciekawe koleje jego losu, które zaprowadziły go do Los Alamos.

Genialni. Lwowska szkoła matematyczna – Mariusz Urbanek
Nareszcie Polacy mogą poznać wybitnych polskich matematyków. Kiedy byłem w szkole a potem na studiach niewiele osób potrafiło wymienić nazwiska naszych naukowców związanych z matematyką.  Autor opisuje nie tylko poszczególne postacie genialnych: H. Steinhausa, S. Banacha, S. Mazura, S. Ulama, ale także tło historyczne jakie towarzyszyło ich losom. Bardzo ciekawa książka nie tylko dla miłośników matematyki.